Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦AB为直径的

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

x²-2x+1+y²+4y+4=9
(x-1)²+(y+2)²=3²
圆心(1, -2)，半径r=3

设AB直线方程为 x-y+t=0
那么垂直于AB直线的半径斜率为 -1，可写出这条半径的方程为：y+2=-(x-1)，即x+y+1=0
它们的交点就是以AB为直径的圆的圆心，可得出圆心坐标为：D( -(t+1)/2, (t-1)/2 )
C到AB距离为：∣1+2+t∣/√2；圆C的半径为3
根据勾股定理，(AB/2)² = 9 -(t+3)²/2 = (9-6t-t²)/2，(AB/2)即是所求圆D的半径
OD² = (t²+2t+1+t²-2t+1)/4 = (t²+1)/2
因为 OD²=(AB/2)²
所以 t²+1 = -t²-6t+9
所以 2t²+6t-8 = 0
所以 t²+3t-4 = 0
所以 t=-4 或者 t=1
所以 AB方程为 x-y+1=0 或者 x-y-4=0

检验：
(1). x-y+1=0，即y=x+1
代入圆方程： (x-1)²+(x+3)²=9
x²-2x+1+x²+6x+9=9
2x²+4x+1=0
x=(-2±√2)/2
即A( (-2+√2)/2, √2/2 ), B( (-2-√2)/2, -√2/2 )
所以 D(-1, 0), AB=2
所以 AB/2 = OD， 成立
(2). x-y-4=0，即y=x-4
代入圆方程： (x-1)²+(x-2)²=9
x²-2x+1+x²-4x+4=9
x²-3x-2=0
x=(3±√17)/2
即A( (3+√17)/2, (-5+√17)/2 ), B( (3-√17)/2, (-5-√17)/2 )
所以 D(3/2, -5/2), AB=√34
所以 AB/2 = OD， 成立