Question

如图，M、P分别为△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，若BP与CM相交于点N.求证：BN=3PN.

Answer 1

设AP的中点为Q，连QM,
∵M、Q分别是AB、AP的中点
∴MQ是△ABP的中位线，
∴MQ//BP ，且MQ=1/2*BP，
又AP=2CP，且AP=2QP
∴QP=PC
∴P是QC的中点
∵PN//QM，且P是QC的中点
∴PN是△CQM的中位线，
∴PN=1/2*QM=1/4*PB，
∴PB=4PN
∴BN=BP-NP=3NP .

Answer 2

证明：
过点P作PD∥MC,交AB于D,
∵PD∥MC,
∴AD/DM=AP/PC,
∵AP/PC=2,
∴AD/DM=2,
∴DM/AM=1/3,
∵AM=BM
∴DM/BM=1/3
∵PD∥MN,
∴NP/BN=DM/BM=1/3
即BN=3NP

追问

上次问这个题那个人就是这么答得，我们还没学相似！

追答

这个不是相似，这是平行线分线段成比例定理
初二就应该学的
或者中位线定理有没有学
证明：
取AP的中点D,连DM,
∵M、D是AB，AP的中点
∴DM=BP/2,MD//BP
又AP=2CP,AP=2DP
∴DP=PC
∴P是DC的中点
∵PN//DM
∴在△CMD中,PN是△CMD的中位线,
∴NP=DM/2,
∴NP=BP/4
∴BN=3NP .