Question

若x,y,a∈正数,且根号x+根号y<=a根号(x+y)恒成立,则a的最小值为

高手帮下忙```

Answer 1

√x+√y≤a√(x+y)
1+√(y/x)≤a√(1+y/x)
t=√(y/x)
1+t≤a√(1+t^2),x,y,a∈正数
取等号a最小
(1+t)^2=a^2(1+t^2)
（1-a^2)t^2+2t+1-a^2=0
2^2-4(1-a^2)^2≥0
2-a^2≥0
a≤√2
a最小=√2

Answer 2

根号x=m
根号y=n
m+n<=a√(mm+nn)
(m+n)/[√(mm+nn)]<=a恒成立
(m+n)^2/[(mm+nn)]<=aa恒成立
aa>={(m+n)^2/[(mm+nn)]}max
{(m+n)^2/[(mm+nn)]}max=2
a>=√2