Question

设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，当x<=1时，y=x^2+1,则f(4)=?;当x>1时，f(x)=?

还有一个题：对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定：
h(x)同时满足f(x)*g(x)（当x属于Df,且x属于Dg）；f(x)（当x属于Df且x不属于Dg）；g(x)（当x属于Dg且x不属于Df）。
(1)若函数f(x)=1/x-1,g(x)=x^2,写出函数h(x)的解析式。
(2)求问题(1)中h(x)的值域。
(3)若g(x)=f(x+a),其中a是常数，且a属于[0,π]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个a的值，使得h(x)=cos4x,并予以证明。

Answer 1

1、因为y=f(x)的图像关于直线x=1对称,
∴x>1时,2-x<1
∴f(x)=f(1+x-1)=f(1-(x-1))=f(2-x)=(2-x)^2+1＝x^2-4x+5
∴f(4)=5
2、
(1)这里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)　　 Dg=R
　　∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时，h(x)=x^2/(x-1) ;
　　当x不属于Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;
　　又x∈Df且x不属于Dg的x不存在,
故得h(x)=x^2/(x-1),x≠1;h(x)=1,x=1

　　(2)当x≠1时,h(x)=x^2/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+2
　　∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;
　　若x<1, 则 x-1<0, 故有h(x)≤0, 当且仅当x=0时等号成立.
　　又当x=1时,h(x)=1.
　　∴函数h(x)的值域为 (-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).

　　(3)由题意得h(x)=f(x)·f(x+a) ①
　　又注意到cos4x=(cos2x)^2-(sin2x)^2
　　=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)
　　=(cos2x+sin2x)[cos2(x+π/4)+sin2(x+π/4)] ②
　　∴由①、②知, 令f(x)= cos2x+sin2x (x∈R) a=π/4
　　则有g(x)= f(x+a)=cos2(x+π/4)+sin2(x+π/4)= cos2x－sin2x　　
　　于是有 h(x)=f(x)·f(x+a)=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)
　　=(cos2x)^2-(sin2x)^2=cos4x.