Question

圆锥曲线的解题方法有哪些？

Answer 1

轨迹问题、中点弦问题、垂直类问题等等，不要怕算。【知识结构】

【命题趋势分析】

从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。

例1 （2002年江苏卷理科第13题）椭圆 的一个焦点是（0，2），则k________________________________________。

分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。

解 椭圆方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。

点评 由焦点在y轴上，其标准方程应化为 的形式，若此题变化为：已知曲线 的焦距为4，则k_____________________________________。

则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1；（2）若为双曲线，方程即为
∴ ，由 ，由 ，得 。

例2 （2001年全国卷理科第14题）双曲线 的两个焦点为 ，点P在双曲线上，若 ，则点P到x轴的距离为_________________________________。

分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出 斜边 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P的纵坐标 ，先利用第二定义即焦半径公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入双曲线方程即可求出 的值；由于点P在以 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利用交迹法求出点P。

解法一 设 ，且由双曲线的对称性不妨设点P在第一象限，则m―n=2a―6 ①， ②，

②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x轴于Q，则在 中， ，即点P到x轴的距离为 ，

解法二 设 ，由第二定义可得 ， ，∵ ，

∴ ，

即 ，这里a=3 c=5 ，代入得 。

∴由双曲线方程得 ，∴ 。

解法三 设 ，∵
∴点P在以 为直径的圆上，即

①，又点P在双曲线上，

∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。

点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。

（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn的值，而不必将m，n解出；在解法三中只需求 即可；

（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。

（4）如果将问题改为：当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围是________________________________。

那么，可先求出使 时的点P的横坐标为 ，由图形直观及双曲线的范围可得 ，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此类似的问题。

例3 （2000年全国卷理科第11题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 等于（ ）

A．2a B． C．4a D．
分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。

解 抛物线方程即 ，记 ，则F（0，m），而直线PQ的方程可设为x=k（y－m），代入抛物线方程 得

，

设 ，则

而 ，

于是， ，

。

故， 。

当k=0时，易证结论也成立，因而选C。

点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y轴上，故其焦点是 ，焦半径公式是 ，而不能写成 。（2）解题中，令 以及将直线PQ的方程设为x=k（y－m），都是为了简化运算。（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x轴，即为通径的情况，可立即得出结果。

例4 （2001年全国卷理科第19题）设抛物线 的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过坐标原点O。

分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC、OA两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证明AC与x轴的交点N恰为EF的中点，从而N与O重合，证得结论。

解法一 易知焦点 ，设直线AB的方程是 ，代入抛物线方程得

设 ，则

，即 。

因BC//x轴，且C在准线1上，故点 ，且 ，从而 ，从而

， ，

于是， ，从而A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

解法二 如图，设准线1交x轴于点E，AD⊥1于D，连AC交EF于点N，由AD//EF//BC，

得 ，即 ，①

，即 ，②

又由抛物线的性质可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N为EF的中点，于是N与点O重合，即直线AC经过原点O。

点评 （1）本例解法一利用曲线的方程研究曲线的性质，充分体现了用坐标法研究几何问题的基本思想，而解法二则充分利用了抛物线的几何性质及相似三角形中的有关知识。（2）在解法一中，直线AB方程的设法值得推崇，从思路分析看，若证 ，即证 ，将 代入后即证 ，即证 ，为此应通过直线AB的方程及抛物线方程 联立消去x得到关于y的一元二次方程，解法一中的这一设法，既回避了直线方程的变形过程使运算简单，同时也回避了当AB⊥x轴的情况的讨论，若将AB方程设为 ，则必须对k不存在的情况作出说明。（3）试验修订本（必修）《数学》第二册（上） 习题8．6第6题是：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴，可见，这道高考题实际上是课本习题的一个逆命题，同学们在平时的学习中，对课本典型例题，习题要加强研究。

例5 （2002年江苏卷第20题）设A、B是双曲线 上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

分析 本题主要考查直线、圆及双曲线的方程和性质，运算能力和综合运用所学知识解决问题的能力。求直线AB的方程，可以设出其点斜式，与双曲线方程联立消元，利用韦达定理及中点公式求出其斜率，由于涉及“中点弦”问题，亦可利用“设而不求”法解决。对于第（2）小题，根据图形特征，若四点共圆，则CD必为其直径，至少可有以下三种解题思路：（1）判断CD中点到四点是否等距；（2）判断是否有AC⊥AD；（3）判断A、B两点是否以CD为直径的圆上。

解 （1）解法一：设AB：y=k（x－1）+2代入 ，整理得

。①

设 ，则

，且
因N（1，2）是AB的中点，故 ，于是 ，解得k=1，从而所求直线AB的方程为y=x+1。

解法二：设 ，代入双曲线方程得

。

因N（1，2）为AB的中点，故 ， ，将它们代入上式可得 ，从而 ，于是直线AB的方程为y=x+1。

（2）将k=1代入方程①得， ，解得 ， 。

由y=x+1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直线CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入双曲线方程并整理得 ②

设 ，则 ， 。

解法一：设CD中点为 ，则 ，于是 ，即M（－3，6）。

因

故 。

又

即A．B．C．D四点与点M的距离相等，从而A、B、C、D四点共圆。

解法二：由 ， 得， ，

，故

，即AC⊥AD。

由对称性可知，BC⊥BD，于是A、B、C、D四点共圆。

解法三：以CD为直径的圆的方程是

，即

。

将 ， ， ， ，代入得

，即 。

因 ，

，

故A、B在以CD为直径的圆上，即A、B、C、D四点共圆。

点评 （1）处理直线与圆锥曲线相交问题时，要重视韦达定理的应用。（2）“设而不求”是解决“中点弦”问题常用的方法，通过“设而不求”可以建立弦所在直线的斜率与弦的中点坐标之间的关系，本题已知中点坐标，即可确定出直线的斜率。（3）判断四点共圆的方法很多，注意从多种不同的角度进行思考，锻炼思维的灵活性。

【典型热点考题】

1．探究

例6 设 分别是椭圆 的左、右焦点，试问：在椭圆上是否存在一点P，使得 ？为什么？

分析 根据点P满足的条件，探究是否能够将点P的坐标求出，若能，则存在；若不能，则不存在，求P点坐标，有以下两条思路：

思路一 设 ，用焦半径公式将 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。

思路二 由 知，点P在以 为直径的圆上，只须考察该圆与椭圆是否存在公共点。

思考：画一个较为准确的图形，不难发现，圆 与椭圆 没有公共点，所以这样的点P是不存在的，关键是这个椭圆太“圆”了，由此引发我们思考：为使点P存在，椭圆应尽量“扁”一些，也即其离心率应该较大，于是我们可以去思考一个一般性的问题：

一般化：若椭圆 上存在一点P，使得 ，求离心率e的取值范围。

利用例6提供的两个思路均可得到 ，从而验证了我们的猜想。

再思考：考察点P从长轴端点 始沿椭圆运动至 的过程， 由0°逐渐增大后又逐渐减小为0°，猜想在某一位置必然取得最大值，试问：这个最大值是多少？又在何处取得？从椭圆的对称性来看，我们可以猜想：当点P在短轴端点B处时， 取得最大值，是不是这样呢？

利用焦半径公式及余弦定理不难验证这一猜想是正确的。

若设 ，我们有 。

回头看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可见使θ=90°的点P是不存在的。

又一个问题：若椭圆 上存在一点P，使 （ 、 为长轴端点），求离心率e的取值范围。

分析 不再是椭圆的焦半径，按照例6中的思路一已经不能解决问题，但是我们知道，使 的点P是轨迹是关于 对称的两段圆弧，可先求出圆弧所在圆的方程，然后按照思路二进行研究，下面我们给出这一问题的解答。

解 由对称性，不妨设 ，则 ， ，由到角公式得

，即 ，

整理得， 。 ①

又 ，故 。 ②

②代入①得， 。

因点P在椭圆上，故 ，即 ，从而 ，即 ，也就是 ，从而 ，解得 ，又0<e<1，故 。

点评 （1）在解析几何中，直角一般由垂直条件来转化，而一般角则常用到角公式来转化，若想用余弦定理将无法运算进行到底。（2）注意利用椭圆的范围性，由 来建立a、b、c三者之间的不等式关系，从而求出e的范围。

2．应用。

例7 某隧道横断面由抛物线的一段和矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，试问：该车能否通过此隧道？为什么？

分析 此题为抛物线在实际问题中的应用，可利用抛物线的方程和性质进行研究。

解 以抛物线弧的顶点为原点，建立图示直角坐标系，设抛物线的方程为 ，从图示可以看出，点（3，－3）在抛物线上，故 ，得2p=3，即抛物线的方程是 。

由抛物线的对称性可知，为使此车尽量通过此隧道，车应沿隧道中线行驶，令 代入 得 ，所以集装箱两侧隧道的高度是 。

因为车与箱共高仅4米，即h>4，所以此车能通过此隧道。

点评 （1）实际问题应转化为数学问题来处理，此处通过建立坐标系转化为解析几何中的问题。（2）建系应恰当，尽量使方程为标准方程，分析问题时注意考虑图形的对称性。