Question

跪求数学大师。已知函数f(x)= 1 2 ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).

补个第三问，对任意x1，x2∈（0,2】都有f（x1）≤g（x2）求a的取值范围。
只求第三问。

Answer 1

对任意x1，x2∈（0,2],都有f（x1）≤g（x2）
那么需f(x)max≤g(x)min
g(x)=(x-1)²-1,
g(x)min=g(1)=-1
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
=[ax²-(2a+1)x+2]/x
=(x-2)(ax-1)/x
当a=0时，f'(x)=-(x-2)/x
x∈(0,2],f'(x)≥0恒成立，f(x)递增
f(x)max=f(2)=2ln2-2
∵2>√e ,ln2>ln√e=1/2
∴2ln2>1
∴2ln2-1>0，2ln2-2>-1
即f(x)max>g(x)min,不符合题意

当a<0时，f'(x)=a(x-2)(x-1/a)/x
0<x≤2,f'(x)≥0恒成立
f(x)递增，
f(x)max=2a-2（2a+1)+2ln2
=-2a-2+2ln2
若f(x)max≤g(x)min
则-2a-2+2ln2≤-1
∴2a≥2ln2-1 >0
那么a为正数，与a<0矛盾

当 a>0时，f'(x)=a(x-2)(x-1/a)/x
若1/a≥2,即0<a≤1/2时
f(x)在(0,2]上递增
f(x0max=f(2)≤-1
得2a≥2ln2-1
a≥ln2-1/2
∴ln2-1/2≤a≤1/2

当0<1/a<2,即a>1/2时，
f(x)max=f(1/a)=1/(2a)-(2a+1)/a+2ln(1/a)
=-1/(2a)-2-2lna<-1，符合题意

综上，符合条件的a的取值范围是a≥ln2-1/2

Answer 2

（III）对任意x1，x2∈（0,2]都有f（x1）≤g（x2），意即f（x）（max）≤g（x）（min）。
而：
（II）f（x）（max）≤g（x）（max）

追问

具体步骤。只要第三问的。

追答

f(x)定义域为(0,+∞)
f＇(x)=ax+2/x-2a-1
①aa≥In2-1/2
②a=0时，f(x)=2Inx-x
f＇(x)=2/x-1=0，求得x=2
∴x∈(0,2)，单增；（2，+∞）单减
∴f(x)(max)=2In2-2≤-1，满足
∴a=0
③a>0,f＇(x)(min)=2√(2a)-2a-1=-[√(2a)-1]²≥0，
∴x∈(0,2)，单增
得出：a≥In2-1/2(∵a>0)
∴a>0
综上所述：a的取值范围为a≥In2-1/2

很久没做高中数学了，不知道答案算错了没，过程反正就是这样了