Question

求解级数收敛性，谢谢

Answer 1

这个级数的部分和是可以求出来的, 裂项: nx/((1+x)(1+2x)...(1+nx))
= (1+nx)/((1+x)(1+2x)...(1+nx)) - 1/((1+x)(1+2x)...(1+nx))
= 1/((1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x)) - 1/((1+x)(1+2x)...(1+nx)).
因此∑{2 ≤ k ≤ n} kx/((1+x)(1+2x)...(1+kx)) = 1/(1+x)-1/((1+x)(1+2x)...(1+nx)).
对x > 0, 易得lim{n → ∞} 1/((1+x)(1+2x)...(1+nx)) = 0.
故级数在正实数处逐点收敛到1/(1+x).

部分和与极限函数的差为1/((1+x)(1+2x)...(1+nx)).
对ε = 1/3 > 0, 任意n > 2, 当x < 1/n², 有(1+x)(1+2x)...(1+nx) < (1+nx)^n < (1+1/n)^n < 3.
故1/((1+x)(1+2x)...(1+nx)) > 1/3 = ε.
因此级数不一致收敛.