Question

运动学问题:如果加速度a是速度v的函数,如a=A-Bv无初速度,如何求位移S和速度v关系

不只要理论，也要过程讲解，没学过微积分的勿扰
“一石子从空中静止下落，因空气阻力，石子非自由落体下落，加速度a=A-Bv，其中A，B是常数，求石子速度和运动方程，”可能我说不清楚，这是原题，求大神指点

Answer 1

a=dv/dt=(dv/ds)(ds/dt)=vdv/ds【此步是关键变换】
因为a=A-Bv
所以vdv/ds=A-Bv
vdv/(A-Bv)=ds
(1/B)dv+(A/B)dv/(A-Bv)=ds
解这个微分方程得S=(1/B)-(A/B²)ln|AB-B²v|+C【这个高中可能不会】
初始条件为v0=0，a0=A
得C=A-(1/B)+(A/B²)lnAB
于是S=(1/B)-(A/B²)ln|AB-B²v|+A-(1/B)+(A/B²)lnAB

追问

大神确定没错？为毛v=0时s不为0？

追答

v=0时a=A
我错了。我后面那步把a的初始条件当成S得初始条件去算去了
注意此题计算不能用时间t得积分即可。关于初始位移。我再看看
v0=0，a0=A。S0未知啊。题目没给，题给条件也无法确定。

追问

“一石子从空中静止下落，因空气阻力，石子非自由落体下落，加速度a=A-Bv，其中A，B是常数，求石子速度和运动方程，”可能我说不清楚，这是原题，求大神指点

追答

这里可以设初始位置为0.选定坐标系。以往下运动为正方向
由物理事实可知，最终加速度a=0，即0=A-BVmax，即Vmax=A/B
(1)这个问题是求速度与时间的关系
a=dV/dt=A-BV

此方程可得速度与时间的关系
dv/(A-BV)=dt
d(A-BV)/A-BV)=-Bdt
解得ln(A-BV)=-Bt+C
初始条件为t0=0，V0=0，得C=lnA
于是A-BV=e^(-Bt+lnA)
V=[A-A(e^-Bt)]/B，【显然满足Vmax=A/B，可用来检查结果】
(2)运动方程指的是位移与时间的关系。而你问的是位移与速度的关系。这两者不同的。
这个问题很常规，只是注意静止出发，且题目未给出初始高度。初始位移可以认为是0找出关系即可【以初始为止为原点，向下运动方向为正】
可以借助第一问
V=ds/dt=[A-A(e^-Bt)]/B【这样好算些】
(B/A)ds=[1-(e^-Bt)]dt。【这步是化简】
(B/A)s=t+(1/B)e^(-Bt)+C1
s0=0，t0=0，得C1=-1/B
于是s=(A/B)t-(A/B²)e^(-Bt)-(A/B²)
………………………………………………
给个你的问法得题目
一个质点沿着直线BO向点O运动，以S表示质点与点O的距离。且速度v和S满足VS=1m²/s。
问当S=20m时，质点得加速度为多少？质点由S=40m到S=20m需要时间是多少？

Answer 2

v'=a
v'=A-Bv
v'+Bv=A ,
v=ce^(-Bt)+A/B,当t=0,v=0,代入可得到：c=-A/B；
v=-A/B e^(-Bt)+A/B

s=∫vdt
=∫(-A/Be^(-Bt)+A/B)dt
=∫(-A/Be^(-Bt)dt+∫A/Bdt
=A/B^2* e^(-Bt)+At/B +c

当t=0,s=0,代入可得到：c=-A/B^2
方程为：s=A/B^2 *e^(-Bt)+At/B -A/B^2

Answer 3

学过微积分吗？或者知道导数吗？

追问

导数学过，微分也学过，积分就自学过，不太懂

追答

a=d2s/dt2
s=∫∫ad^2t
dv/dt=a
(dv)/a=dt
s=∫∫a/a^2d^2v
=∫∫1/ad^2v
=∫∫1/(A-Bv)d^2v
有初始条件就可以求出s(v)的表达式。