Question

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一：若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二：证明(x-1)f(x)>=0

Answer 1

∵x≥e,∴x-1＞0,
对所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立，
即要使a≤xf(x)/(x-1)对所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.

设y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
对y求导，得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²

设g(x)=x-lnx-1
对g(x)求导，得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e＞0,即g(x)是增函数
∴g(x)≥e-lne-1=e-2＞0

∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²＞0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函数
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)

即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)