Question

已知数列{an}中，a1=2,an=an-1+2n-1(n>=2),求数列{an}的通项公式

n>=2时，an=an-1+2n-1 ， 所以 a2-a1=3 ,a3-a2=5 ,a4-a3=7……
an-an-1=2n-1 ,以上n-1个式子相加得：an-a1=3+5+7+…+（2n-1),而a1=2
所以an=2+[3+5+7+…+（2n-1)]=2+(3+2n-1)(n-1)/2=n^2+1 [3+5+7+…+（2n-1)为什么是(3+2n-1)(n-1)/2 为什么要乘n-1？

Answer 1

等差数列求和公式：（首项+末项）×项数/2，n-1就是项数

可以这么理解，2n-1是奇数，所以1+2+3+4+5+6+7+...+2n的项数有2n个，1+3+5+7+...+2n-1的项数有2n/2=n，所以3+5+7+...+2n-1的项数要减去1，就是n-1

追问

少了第一项1要减去？

追答

是的，因为是从“3”开始累加的，少了数字“1”，就少了一项，所以要在项数里减去一项

Answer 2

3+5+7+…+（2n-1)为什么是(3+2n-1)(n-1)/2 为什么要乘n-1？
答：因为3+5+7+…+（2n-1)是等差数列
首项是3，公差是5-3=2，项数是n-1项（为什么呢？设项数为m，则由等差数列通项公式得：
2n-1=3+（m-1)*2，解得m=n-1，所以项数是n-1)
于是3+5+7+…+（2n-1)=（首项+末项）*项数/2=（3+2n-1)(n-1)/2
是这样来的。

Answer 3

解：因为n>=2时，an=an-1+2n-1
，
所以
a2-a1=3
,a3-a2=5
,a4-a3=7……
an-an-1=2n-1
,以上n-1个式子相加得：an-a1=3+5+7+…+（2n-1),而a1=2
所以an=2+[3+5+7+…+（2n-1)]=2+(3+2n-1)(n-1)/2=n^2+1
经检验知：an=n^2+1

Answer 4

(3+2n-1)(n-2+1)/2 首项加末项乘以项数比2，首项的n=2所以就n-2+1=n-1

Answer 5

an=a(n-1)+2n-1
则an-a(n-1)=2n-1
a(n-1)-a(n-2)=2n-3
...
a2-a1=2*2-1=3
全部式子相加，得到：an-a1=（2n-1+3）*（n-1)/2=n^2-1
所以，an=n^2-1+2=n^2+1