Question

利用极限存在准则（夹挤准则或单调有界准则）求证以下数列收敛，并求其极限

Answer 1

我先说方法，你先试试
第一步证明该数列单调递增,即证x(n-1)<xn
第二步证明该数列有上界。即证xn<(1+√5)/2
这就证明了该数列收敛
以上两步可以用数学归纳法来证
第三步求该数列的极限
设limxn=limx(n-1)=A
由xn=1+x(n-1)/(1+x(n-1))
则有A=1+A/(1+A)
解得A=(1+√5)/2
即limxn=(1+√5)/2

追问

怎么证它的单调性呀

追答

用数学归纳法来证：
当n=1时， x1=1 x2=1+x1/(1+x1)=1+1/2=3/2
显然有x1<x2
假设当n=k时，有x(k-1)<xk
则当n=k+1时
因为x(k-1)<xk
所以x(k-1)+x(k-1)xk<xk+x(k-1)xk
所以x(k-1)[1+xk]<xk[1+x(k-1)]
所以x(k-1)/[1+x(k-1)]<xk/[1+xk]
所以1+x(k-1)/[1+x(k-1)]<1+xk/[1+xk]
所以xk<x(k+1)
即证明了当n=k+1时xk<x(k+1)成立
所以对一切正整数n都有xk<x(k+1)
即证明了该数列单调递增

追问

你是如何得出(1+√5)/2 这个值的？

追答

这个是由limxn=limx(n-1)=A
A=1+A/（1+A）求出来的

追问

那如何证它有界？

追答

也用数学归纳法来证
当n=1时， x1=1<(1+√5)/2
假设当n=k时，有xk<(1+√5)/2
则当n=k+1时，
由xk<(1+√5)/2变形得
（3-√5)xk<(3-√5)(1+√5)/2
即(3-√5)xk<√5-1
3xk-√5xk<√5-1
2xk<-xk+√5xk+√5-1
2xk<(-1+√5)[xk+1]
xk/[1+xk]<(-1+√5)/2
1+xk/[1+xk]<1+(-1+√5)/2
即1+xk/[1+xk]<(1+√5)/2
即x(k+1)<(1+√5)/2
这就是说当n=k+1时，x(k+1)<(1+√5)/2
所以对一切正整数n都有k(n+1)<(1+√5)/2
即证明了xn<(1+√5)/2

追问

多谢了呀！！！！

Answer 2

追答

拍的不够清，多拍了几张