Question

设函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x²+4x

（1）求f（x）的表达式。
（2）证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数。

Answer 1

(1)
设x<0,那么-x>0
∴f(-x)=(-x)²+4(-x)=x²-4x
∵f(x)是奇函数
∴f(x)=-f(-x)=-x²+4x
∴f(x)的表达式为
f(x)={ x²+4x ,(x≥0)
{-x²+4x ,(x<0)
(2)
任取0<x1<x2
∴f(x1)=x²1+4x1,f(x2)=x²2+4x2
∴f(x1)-f(x2)
=x²1-x²2+4(x1-x2)
=(x1+x2)(x1-x2)+4(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+4)
∵0<x1<x2
∴x1-x2<0,x1+x2>0,x1+x2+4>0
∴(x1-x2)(x1+x2+4)<0
f(x1)-f(x2)<0
那么f(x1)<f(x2)
即f(x)是(0,+∞)上的增函数

Answer 2

1)当x<0时，f(x)=-f(-x)=-（x²-4x）=-x²+4x
f(x)=x²+4x x≥0
f(x)=-x²+4x x<0
2)设X1>X2>0
f(x1)-f(x2)=X1²+4X1-X2²+4X2 =(X1-X2)(X1+X2+4)<0
即f(x1)<f(x2)
得证

Answer 3

f(x)=x²+4x x≥0
f(x)=-x²+4x x<0

任意x1,x2;0<x1<x2
有f（x2）/f（x2）=x1+4/(x2+4)>1
所以递增

追问

要过程

追答

x<0由奇函数性质有
f(x)=-f(-x)=-（x²-4x）=-x²+4x