Question

设向量a,b为两个不平行的向量,若向量p=2向量a-向量b与向量q=向量-a+λ向量b(λ为实数)平行，则λ的值为

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Answer 1

向量p=2向量a-向量b
向量q=向量-a+λ向量b(λ为实数)
因为p//q
所以存在实数m使得
p=mq
即2向量a-向量b=m(向量-a+λ向量b)
∵向量a,b为两个不平行的向量
根据平面向量基本定理
∴-m=2 ，mλ=-1
∴λ=1/2

追问

为什么-m=2？

追答

平面向量基本定理：

e1,e2为不共线的两个向量，那么
对于平面内任何向量a,存在唯一的
一对实数(λ1,λ2),使得向量a=λ1e1+λ2e2

本题：
向量a,b为两个不平行的向量（即不共线）

2向量a-向量b=m(向量-a+λ向量b)=-ma+mλb
两边向量相等
那么(2,-1)与(-m,mλ)是相同的一组
∴m=-2 ,mλ=-1

Answer 2

两个向量平行即这两个向量的向量积等于0
p=2a-b，q=-a+λb，
p×q=(2a-b)×(-a+λb)=-2a×a+b×a+2a×λb-b×λb=-2a×a+b×a+2λa×b-λb×b
对于向量积而言有：a×a=0，b×b=0，a×b=-b×a，因此：
p×q=-（a×b）+2λ（a×b）=（2λ-1）（a×b）
p、q平行即（2λ-1）（a×b）=0，即λ=1/2

Answer 3

因为p//q, a,b不平行-->a,b前的系数对应成比例,所以λ=1/2