Question

an是各项均为正数的等比数列，bn=log2(an),若b1+b2+b3=3,b1*b2*b3=-3,求an

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Answer 1

an为等比数列

由于bn=log2an，则bn为等差数列，设bn公差为d

则 b1+b2+b3=3 推出 3b1+3d=3 进而 d=1-b1

再由题：b1b2b3=-3 推出b1^3+3*d*b1^2+2*d^2*b1=-3

于是可以解得b1=-1或b1=3
若b1=-1
d=1-b1=2，b2=b1+d=1；
a1=0.5，a2=2；
所以公比为4
an=0.5*4^n;

若b1=3
d=1-b1=-2,b2=b1+d=1
a1=8,a2=2;
所以公比为0.25；
an=8*(0.25)^n

说明：
题中说an各项均为正数，则公比为正数，是为了保证log2q有意义而已

Answer 2

解：∵{a[n]}是各项均为正数的等比数列，b[n]=log[2]a[n]
∴b[n+1]-b[n]=log[2]a[n+1]-log[2]a[n]=log[2]{a[n+1]/a[n]}=log[2]q
即：{b[n]}是公差d=log[2]q的等差数列
∵b[1]+b[2]+b[3]=3
∴b[1]+(b[1]+d)+(b[1]+2d)=3
即：b[1]+d=1
∵d=log[2]q
∴b[1]=1-d=1-log[2]q=log[2](2/q)
∵b[1]*b[2]*b[3]=-3
∴(1-log[2]q)(1-log[2]q+log[2]q)(1-log[2]q+2log[2]q)=-3
即：1-(log[2]q)^2=-3
∴log[2]q=-2
或者
log[2]q=2
即：q=1/4
或者
q=4
∵b[1]=log[2]a[1]=log[2](2/q)
∴a[1]=8
或者
a[1]=1/2
∴a[n]=8*4^(1-n)
或者
a[n]=0.5*4^(n-1)