Question

如图,AB为圆O的直径,CD为弦,且CD垂直AB,垂足为点H

（1）角OCD的平分线CE交圆O于点E，连接OE，求证：E为弧ADB的中点

（2）如果圆O的半径为1，CD=根号3，求点O到弦AC的距离

Answer 1

注意到AB是直径，CH是高，
ABC是直角三角形
角ACO＝角CAO＝角CAB＝角BCH＝角BCD
所以如果CE是角OCD的平分线，那么也是角ACB的平分线
相等的圆周角所对的弧长相等
所以E为弧ADB的中点

OC^2=CH^2+OH^2
CH=(1/2)CD
所以OH＝1/2=(1/2)OB
所以OH＝HB
又因为CH垂直OB
所以OC＝CB
所以三角形OCB是等边三角形
所以AC对的圆周角是角ABC＝60度
CD对的圆周角是(1/2)角COD＝角COH＝60度
所以AC＝CD
所以OH的长度是O到CD的距离，也是O到AC的距离。
所以是1／2

Answer 2

证明⑴∵CE平分∠OCD
∴∠OCE=∠ECD
又∵OC=OE
∴∠OEC=∠OCE
∴∠OEC=∠ECD
∴OE‖CD
又∵AB⊥CD
∴AB⊥OE
∴AE=EB
⑵

Answer 3