Question

求z=f(u,x,y),且u=φ（x,y）偏导数公式详细推导过程。谢谢

根据同济版高数教材描述如下：

设u=φ（x,y）,v=ψ（x,y）,w=ω（x,y）,都在点（x,y）具有对和对的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点具有连续偏导数，则复合函数
z=f[φ（x,y）,ψ（x,y）,ω（x,y）]
在点（x,y）的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算
az/ax=az/au au/ax+az/av av/ax+az/aw aw/ax (6) （az/ax表示偏导数标记，方便输入）
az/ay=az/au au/ay+az/av av/ay+az/aw aw/ay (7)

（以上我比较清楚，下面内容就不太懂了，继续往下看 ）

如果z=f(u,x,y)具有连续偏导数，而u=φ（x,y）具有偏导数，则复合函数

z=f[φ（x,y）, x ,y] （8）
可看作上述情形中当v=x, w=y,的特殊情形，因此
av/ax=1, aw/ax=0 ,av/ay=0, aw/ay=1

从而复合函数（8）具有对自变量x及y的偏导数，且由公式(6)及(7)得
az/ax=af/au au/ax+af/ax （9）
az/ay=af/au au/ay+af/ay （10）
注意 这里az/ax与af/ax是不同的，前者是把复合函数（8）中的y看作不变而对x偏导数，后者是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数，az/ay与af/ay也有类似的区别。

现在的问题：从公式（6）到公式（9），结合已知条件，我不知道怎么样推导，
请求帮助：数学高手们可以给一个从公式（6）到公式（9）详细的推导过程吗？清楚的反映等式右边带有az的公式（6）怎么演变成等式右边带有af的公式（9）的。
另外注意：另外类似偏导数au/ax和导数du/dx的写法不要用f'的形式，就用现在的形式，所有中间步骤等于0的式子或值也要写出，不然我会搞混，谢谢了。

Answer 1

其实这是非常简单的一个东西，比如要让你算出一棵树上所有的叶子数目，那么你是不是要把所有分枝上的叶子都要数一遍？相同的道理，要求关于某一个变量的偏导数，就要把所有相关的分枝都求出来加到一起，至于每一个分枝上的偏导数，那就是一元复合函数求导数的方法了。大致的图形就相当于是一个复合链，如下

要求az/ax, 可以发现和x有关的分枝应该是两个，分别求出来再相加就行了：第一个分枝上应该等于af/au*au/ax， 第二个分枝上应该等于af/ax，因此有

az/ax=af/au au/ax+af/ax                        你原来的（6）式

关于y的偏导数是类似的求法。

至于你说的az/ax与af/ax是不同的，这是非常容易理解的，由上面的图可以知道，这里的x应该是扮演了两个角色，既是中间变量又是最终复合函数z=f(φ（x,y), x, y)的自变量，你要求的应该是最终的复合函数z=f(φ（x,y), x, y)关于x的偏导数，所以应该是az/az，而第二个分枝里要求关于x的偏导数时，它是与上面的u地位相同的，是属于z=f(u,x,y)的自变量，当然应该是af/ax了。