Question

已知数列an是首项为a 且公比q不等于一1的等比数列 sn是其前n项和 a1 2a7 3a4成等差数

已证得12s3 s6 s12-s6成等比数列，求和 Tn=a1+2a4+3a7+…+na(3n-2)

Answer 1

证明：
∵a1,2a7,3a4成等差数列。 a7=a1×q＾6 a4=a1×q＾3
∴ 4a7=a1 3a4 4a1×q＾6=a1 a1×q＾3
令q＾3=x
4x＾-3x-1=0 x1=q＾3=1 ∵q≠1 ∴舍去
x2=q＾3=-1/4
S6=a1×（1-q＾6）/（1-q）
S3=a1×（1-q＾3）/（1-q）
S12=a1×（1-q＾12）/（1-q）
S12-S6=a1×q＾6×（1-q＾6）/（1-q）
12S3×（S12-S6）
=（a1）＾12×（1-q＾6）×（1-q＾3）×q＾6/（1-q）＾
=[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×q＾6×12
=[（a1）＾×（1-q＾6）×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（3/4）
（S6）＾=（a1）＾×（1-q＾6）＾）×（1-q＾3）/（1-q）＾
=[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（1 q＾3）
=[（a1）＾×（1-q＾6））×（1-q＾3）/（1-q）＾]×（3/4）
∴（S6）＾=12S3×（S12-S6） 12S3，S6，S12－S6成等比数列
(2)
Tn=a1 2a4 3a7＋... na(3n-2)
=a1 2a1q＾3 3a1q＾6 4a1q＾9 ......na1q＾(3n-3)
令q＾3=k
Tn=a1 2a1k 3a1k＾2 4a1k＾3 ......na1k＾(n-1)
k×Tn=a1k 2a1k＾2 3a1k＾3 4a1k＾4 ......na1k＾(n)
Tn-kTn=a1[1 k k＾ k＾3 k＾4 ... k＾n)
Tn=a×(1-k＾n)/(1-k)＾
其中k=q＾3=-1/4

Answer 2

a1,a7,a4成等差数列
2a7=a1+a4
2a1q^6=a1+a1q^3
2q^6=1+q^3
2q^6-q^3-1=(2q^3+1)(q^3-1)=0
因为公比Q不等于1，
所以，q^3=-1/2,

2S3*（S12-S6)
=2a1(1-q^3)/(1-q)*[a1(1-q^12)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)]
=2a1(1+1/2)/(1-q)*[a1(1-1/16)/(1-q)-a1(1-1/4)/(1-q)]
=[a1/(1-q)]^2[3*(15/16-3/4)
=[a1/(1-q)]^2*9/16
=[a1*(3/4)/(1-q)]^2
=[a1*(1-1/4)/(1-q)]^2
=[a1*(1-q^6)/(1-q)]^2
=S6^2
2S3,S6,S12-S6等比

A(3n-2) = aq^(3n-3) = a(q^3)^(n-1) = a(-1/4)^(n-1)
T(n) = a + 2*a(-1/4) + 3*a(-1/4)^2 + ... + (n-1)*a(-1/4)^(n-2) + n*a(-1/4)^(n-1)

(-1/4)T(n) = 1*a(-1/4) + 2*a(-1/4)^2 + 3*a(-1/4)^3 + ... + (n-1)*a(-1/4)^(n-1) + n*a(-1/4)^n

T(n) - (-1/4)T(n) = a + a(-1/4) + a(-1/4)^2 + ... + a(-1/4)^(n-1) - n*a(-1/4)^n = a[1 - (-1/4)^n]/[1 - (-1/4)] - n*a(-1/4)^n
= 4a[1 - (-1/4)^n]/5 - na(-1/4)^n,

T(n) = {4a[1 - (-1/4)^n]/5 - na(-1/4)^n}*[1/(1+1/4)]
= {4a[1 - (-1/4)^n]/5 - na(-1/4)^n}*4/5
= 16a[1 - (-1/4)^n]/25 - 4na(-1/4)^n/5