Question

求数学王子解高中数学关压轴题（有关椭圆和直线交点证明定值）！万分感谢（50分）！有详细过程加分！

已知动直线L与椭圆C:x＾2／3＋y＾2／2＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，且△OPQ的面积为2分之根号六，其中O为坐标原点。（1）证明：x1＾2＋x2＾2和y1＾2＋y2＾2均为定值（2）设线段PQ的中点为M，求｜OM｜＇｜PQ｜的最大值；　

Answer 1

解：设直线方程是y＝kx＋m，代入椭圆方程化简得：（3k^2＋2）x^2＋6kmx＋3m^2－6＝0，则x1＋x2＝－6km/（3k^2＋2），x1x2＝（3m^2－6）/（3k^2＋2），|PQ|＝√（k^2＋1）√[（x1＋x2）^2－4x1x2]＝√（k^2＋1）√[24（3k^2－m^2＋2）]/（3k^2＋2），设原点到直线PQ的距离是d，则d＝|m|/√（k^2＋1），∴S（△OPQ）＝（1/2）|PQ|d＝（1/2）|m|√[24（3k^2－m^2＋2）]/（3k^2＋2）＝√6/2，化简得