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令x=tant dx=sec^2tdt
原式=∫(0,π/4) ln(1+tant)/sec^2t*sec^2tdt
=∫(0,π/4) ln(1+tant)dt
设Y=∫(0,π/4) ln(1+tant)dt
令u=π/4-t dt=-du
Y=∫(π/4,0) -ln[1+tan(π/4-u)]du
=∫(0,π/4) ln[1+(1-tanu)/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln[(1+tanu+1-tanu)/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln[2/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln2du- ∫(0,π/4) ln(1+tanu)du
=ln2*π/4-Y
2Y=ln2*π/4
所以原式=Y=ln2*π/8
原式=∫(0,π/4) ln(1+tant)/sec^2t*sec^2tdt
=∫(0,π/4) ln(1+tant)dt
设Y=∫(0,π/4) ln(1+tant)dt
令u=π/4-t dt=-du
Y=∫(π/4,0) -ln[1+tan(π/4-u)]du
=∫(0,π/4) ln[1+(1-tanu)/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln[(1+tanu+1-tanu)/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln[2/(1+tanu)]du
=∫(0,π/4) ln2du- ∫(0,π/4) ln(1+tanu)du
=ln2*π/4-Y
2Y=ln2*π/4
所以原式=Y=ln2*π/8
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