Question

复变函数的问题∫(L)|z|dz

.计算积分∫(L)|z|dz，其中曲线L是：（1）连接-1到1的直线段，（2）连接-1到1，中心在原点的上半圆周。

Answer 1

因为|z|=√(x^2+y^2)，dz=dx+idy，所以积分=∫√(x^2+y^2)(dx+idy)=∫√(x^2+y^2)dx+i∫√(x^2+y^2)dy，第一问由于y=0，dy=0，所以积分=∫√x^2dx（积分限-1到1）=-∫xdx（积分限-1到0）+∫xdx（积分限0到1）=1/2+1/2=1。第二问由z在圆周上知x^2+y^2=1，所以积分=∫dx（积分限-1到1）+i∫dy（积分限0到0）=2