一道大学高数题，求详细解答
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(1)
f'(x)=n(1-x)^n+nx·n(1-x)^(n-1)×(-1)
=n(1-x)^(n-1)[(1-x)-nx]
=n(1-x)^(n-1) (1-(n+1)x)
=0
x=1或x=1/(n+1)
f(0)=f(1)=0
f(1/(n+1))=n/(n+1) (1-1/(n+1))^n=[n/(n+1)]^(n+1)
所以
最大值u(n)=f(1/(n+1))=[n/(n+1)]^(n+1)
(2) lim(n->∞)u(n)=lim(n->∞)[n/(n+1)]^(n+1)
=1/{lim(n->∞)[(n+1)/n]^(n+1)}
=1/{lim(n->∞)[1+1/n]^(n+1)}
=1/e
f'(x)=n(1-x)^n+nx·n(1-x)^(n-1)×(-1)
=n(1-x)^(n-1)[(1-x)-nx]
=n(1-x)^(n-1) (1-(n+1)x)
=0
x=1或x=1/(n+1)
f(0)=f(1)=0
f(1/(n+1))=n/(n+1) (1-1/(n+1))^n=[n/(n+1)]^(n+1)
所以
最大值u(n)=f(1/(n+1))=[n/(n+1)]^(n+1)
(2) lim(n->∞)u(n)=lim(n->∞)[n/(n+1)]^(n+1)
=1/{lim(n->∞)[(n+1)/n]^(n+1)}
=1/{lim(n->∞)[1+1/n]^(n+1)}
=1/e
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