Question

如图,△ABC内接于⊙O,,∠B大于∠C,D是BC上一点（点D不与B，C重合），将∠B沿AD翻折，B点正好落在⊙O

如图,△ABC内接于⊙O,,∠B大于∠C,D是BC上一点（点D不与B，C重合），将∠B沿AD翻折，B点正好落在⊙O上的点E处，折痕AD的延长线交⊙O于点k
（1）求证：AK是⊙O的直径
（2)设∠CAE=α，试用含α的代数式表示∠CDE并说明理由
（3）若∠B=β，∠C=r，求出α，β，r之间的等量关系，并加以证明

Answer 1

⑴l连接BE
∵B、E关于AK对称
∴AK垂直平分BE(弦的垂直平分线经过圆心)
∴AK是⊙O的直径()

⑵设AC、DE相交于点F，连接OE、OC、OB
∴∠CDE＝∠AFD－∠C＝∠E＋∠CAE－∠C＝∠B＋α－∠C
∵∠B＝1/2∠AOC，∠C＝1/2∠AOB＝1/2∠AOE
∴∠B－∠C＝1/2(∠AOC－∠AOE)＝1/2∠COE＝∠CAE＝α
∴∠CDE＝∠B－∠C＋α＝2α

⑶由⑵的证明可知：∠B－∠C＝α
即：β－γ＝α

Answer 2

（1）证明：连结BE
根据折叠可得B、E关于AD对称，所以AD为弦BE的垂直平分线
AK⊥BE，AK平分BE，根据垂径定理则AK过圆心
A、K都在圆周上，所以AK为圆直径
（2）D在BE垂直平分线上，所以BD=ED
∠BED=∠EBD
∠CAE和∠EBD所对都为弧CE，因此∠EBD=∠CAE
∠CDE为△BDE外角，所以∠CDE=∠BED+∠EBD=2∠EBD
因此∠CDE=2∠CAE=2α
（3）根据垂径定理AK平分优弧BAE，所以弧AB=弧AE
因此∠ABE=∠AEB
∠C和∠AEB所对都为弧AB，所以∠C=∠AEB=∠ABE
∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠C+∠CBE
由（2）结论∠CBE=∠CAE=α
所以α+γ=β