Question

利用定积分定义求数列和的极限疑问，急急急！

今看高数同济六班教辅 高等数学辅导 彭辉主编 中 第五章第一节内容解析，有一段意思说：利用定积分定义计算定积分或者数列和极限时，把闭区间划分为n等分的前提是以假定所求定积分存在或极限存在为前提条件，这是为什么？我的理解是：只要有闭区间存在，那都可以进行n等分，用不着假定定积分存在或者极限存在，再者，你是求极限，同时你又假定其存在，然后用它存在的条件求出它来，这不是循环逻辑么，这样假定不对吧？不太明白，请高人详细解说一下，谢谢，急急急！！！

Answer 1

1、把闭区间划分为n等分的前提是以假定所求定积分存在或极限存在为前提条件，这是为什么？
答：这是排除有竖直渐近线的情况，例如 y = 1/(x - 2)², 在 x = 2 处，有竖直渐近线，
那么我们在 [1，3] 的闭区间上积分，只考虑积分的上下限，就出现荒唐的结论.
所以，我们必须考虑在闭区间内，定积分是否存在。而定积分包括暇积分，对
于暇积分，是必须计算极限的的，极限不存在就是积分不收敛。两者是一致的。

2、只要有闭区间存在，那都可以进行n等分。
答：错了。请参见上面的解释。

3、这不是循环逻辑么？
答：这不是循环逻辑。这里只是说，被积函数在给定的区间上必须满足可积分的条件。
具体来说，就是连续。可积的条件就这么简单。只有连续才可积。

追问

感谢！再问：用定积分定义求数列和式极限或定积分题时，下面哪思路对？1、先写出“已验证此极限存在或满足定积分存在条件”这思路明白；2、这类题公认的极限或定积分存在，什么都无需写直接用定积分定义求，这思路也明白（公认的吗！）；3、写出假定存在或不写出而默认假定存在，这思路不明白，这不是循环逻辑么？即求一值时先假定其存在然后用存在推出值来，从而得出假定正确，这酷似己证己吧？再请高人详解，谢谢急急急！

追答

看来，你是难得的一位具有深刻思想的学生，不是普通学生那样囫囵吞枣、照单全收，
难能可贵。我们缺少的就是有思想的学生，即使教授，绝大多数也只是死记硬背、望文
生义、穿凿附会的高手。

下面谈谈，我对数列求和的极限，化为定积分的体会：
1、求和数列必须是无穷数列；
2、这个数列必须能化成定积分的思想方法，也就是莱布尼兹方法：
A、要有1/n，也就是dx的项出现；
B、要有f(xi)的形式出现；
3、至于能不能积得出来，其实事先并不重要，只有将积分式写出后，才去具体分析
积分的方法与技巧。
但是作为理论书籍，就必须写出理论的可行性，也就是理论的适用范围，既然是
用到定积分，这个定积分自然就必须可积，就是你所说的假定存在。
理论上，只要不出现奇点，也就是没有无穷大出现，连续函数一定可积；即使是
有无穷大出现，也有可能是可积的，例如，1/根号x，在0处虽然是无穷大，但是
在x=0处仍然可积。

最好是根据具体题目解释，有问题欢迎随时发过来讨论。

Answer 2

我谈一下我的理解，你看对不对啊：其实他说这话的意思就是说把一个满足一种特殊条件（就是楼上说的莱布尼茨方法）无穷和转化为一个定积分，于是这个数列极限的存在性就等价于这个积分是不是有限