Question

如图，AB为圆0的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H (1)∠OCD的平分角CE交圆0于点E.求证，E为弧ADB的中点。

如图，AB为圆0的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H
(1)∠OCD的平分角CE交圆0于点E.求证，E为弧ADB的中点。
(2)如果半径为1，CD=根3，求0到弦AC的距离。

Answer 1

(1)

如图，连接OE

已知CE为∠OCD的平分线

所以，∠1=∠3

因为OC=OE

所以，∠1=∠2

所以，∠2=∠3

所以，OE//CD

已知CD⊥AB

所以，OE⊥AB

因为AB是直径，且O为圆心

所以，E为弧ADB中点

(2)

如图，连接AC，过点O作AC垂线，垂足为F

已知CD⊥AB，所以CH=DH=√3/2

已知OC=1

所以由勾股定理得到：OH=1/2

所以，在Rt△OCH中，∠OCH=30°，∠COH=60°

因为OA=OC

所以，∠A=∠ACO=30°

所以，在Rt△AOF中，AO=1，∠A=30°

则，OF=1/2

Answer 2

(1)证明：（如图）  连接OE   

∵ CE平分∠OCD                      OC=OE  

∴∠1=∠2                            ∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴OE∥CD（内错角相等，两直线平行）

而CD⊥AB

∴OE⊥AB（二直线平行，同位角相等）

而O是圆的圆心

∴OE平分弧ADB（过圆心垂直于弦的直径平分该弦所对弧）

即 E为弧ADB的中点。

Answer 3

连接OE，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，又CE为∠OCD角平分线∴有∠DCE=∠OCE
∴∠DCE=∠OEC∴CD∥OE（内错角相等）
由平行得OE⊥AB，AB为圆O直径，E、D同侧可得E为弧ADB中点
2）OA=OC=1，CH=1/2CD=根3/2,又CD⊥AB
∴sin∠BOC=根3/2/1=根3/2∴∠BOC=60°，∠AOC=120°,∠CAO=30°
∴O到AC距离=1*sin30°=1/2

Answer 4

（1）实际是求证OE⊥AB，连线OE，设CE与AB的交点为F，由三角形外角和等于不相邻两内角相加，得∠OFC=∠FOE+∠FEO=∠FHC+∠FCH，因为CE是角平分线，所以∠OCF=∠FCH，又OE=OC=R，所以∠FEO=∠OCF，所以∠FEO=∠FCH，所以∠FHC=∠FOH=90，所以OE⊥AB，因为OE是半径，连线AE,EB时会有AE=EB，E点为弧ADB中点。
（2）典型的30，60，90的问题，就不帮你算了。