Question

方程ax+by=c恰好有且只有一个整数解。它的充要条件是什么？

这是一道题里面的一句话，但是我不太理解能推出x=y还是a=0或者b=0？？
这是一个已知条件，问题是要判断a.b.c的和是不是质数，但是从这个已知条件我不知道具体能推出a.b.c的什么性质

Answer 1

只需讨论a、b、c为整数且三者互素的情况，若为非整数则可以化为互素的整数形式的方程，或者直接判断无整数解。

此时，若ax+by=c恰好有且只有一个整数解，则（a，b）=c，即a、b的最大公约数为c，反之，也成立。

关于此结论的证明参见高等数学中的辗转相除法。

二元一次方程一般解法：

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

1、代入消元

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

2、加减消元

例：解方程组x+y=9① x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2

∴x=7，y=2

这种解法就是加减消元法。

Answer 2

首先肯定不是x=y，
也不是a=0或者b=0，因为此种情况肯定是1.无穷多个整数解2.没有整数解

其实这题是带余除法的变相题目，如果学过高等数学（初等数论）可以理论证明
如果是高中题目 ax+by=c 我简单举几个例子 9=5*1…4 （9 5 1）；8=3*2…2（8 3 2）
通过几个例子可以看出带余除法其实产生方程ax+by=c 而我们都知道我们带余除法结束的条件是不能再除下去且每次余数跟除数不存在公因子即a b互质，又因为是带余数的即不能整除 所以a c互质 所以推得 a b c互质

追问

谢谢你的回答，可是那么当a=0时，无论x取任何值，y都只有一个值y=c\b，这个算不算只有一个整数解呢（这里c是b的倍数，这样c与b就不能互质了）？这种方程只有一个整数解是指x和y都只能取一个值吗？

追答

我不是说了吗a=0时肯定会出现两种情况

1. 无穷多个整数解    2.没有整数解  首先如果a=0那么函数图像就是y=c\b这直线

   则：1如果c\b是整数 那么有整数解（0  c\b）  那么他肯定还有无穷个例如（1 c\b）（2 c\b）（3  c\b）（4  c\b）…………（N  c\b）的整数解。

   2.如果c\b不是整数那么对于任何x有（x  c\b）不为整数解 即没有整数解   b=0 的情况同理

   
   

Answer 3

　　只需讨论a、b、c为整数且三者互素的情况，若为非整数则可以化为互素的整数形式的方程，或者直接判断无整数解。
此时，若ax+by=c恰好有且只有一个整数解，则（a，b）=c，即a、b的最大公约数为c，反之，也成立。
关于此结论的证明参见高等数学中的辗转相除法。

Answer 4

有且只有一个解，a或者b只有一个是0，则ab=0且a≠b，又因为是整数解，所以c=ka或kb，k为常数。

Answer 5

a，b，c互质。
如果有具体的二元一次方程，应该可以解出来。