Question

如何在不使用常数变易法的条件下求出一阶微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解？

Answer 1

P(x)？不是常系数？不太可能有一般解法

Answer 2

y'+P(x)y=0的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx)，也就是y×e^(∫P(x)dx)=C，所以[y×e^(∫P(x)dx)]'=0，即y'×e^(∫P(x)dx)+y×e^(∫P(x)dx)×P(x)=0，这相当于原微分方程y'+P(x)y=0两边同乘以了e^(∫P(x)dx)。

由此考虑在y'+P(x)y=Q(x)两边也同乘以e^(∫P(x)dx)，得y'×e^(∫P(x)dx)+y×e^(∫P(x)dx)×p(x)y=e^(∫P(x)dx)×Q(x)，即[y×e^(∫P(x)dx)]'=e^(∫P(x)dx)×Q(x)，两边积分得y×e^(∫P(x)dx)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C，所以y=e^(-∫P(x)dx)×[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]。这就是一阶非齐次线性微分方程的通解公式。