Question

计算二重积分 2xydxdy,其中D为直线y=2,y=x,y=2x所围成的区域

Answer 1

好久没做过重积分了，也做下。

 

这个D是y-型，先对x积分，明显x的左限是y/2，右限是y，详解见下图：

 

 

祝愉快

追问

还有另一种呢，看成x型的

追答

若取x-型，由于上限为两条函数曲线y=x及y=2组成，故而要分区积分。我画个图吧。

追问

我做出来的结果是3/4+3又3/4

不知道哪算错了……

等会看看你的^O^

追答

 

选x-型的话把D分为D1和D2，这时先对y积分，见下图：

宝刀未老。

你对比下看哪里的问题吧

 

祝愉快

追问

原来dx前面是2x，我一直是直接写个dx，宝刀，这样计算的意义是什么吗？以dx为底面

追答

你对D2积分时上限写的是2，但原函数又误写为2x了，其实一个步骤都不省略才容易做对。
那不是单纯的dx，dxdy共同构成面积微元，被积函数是高，被积函数定义域为D，
把x看作常数时，dy与被积函数的乘积构成一根竖直线，再把y沿y轴正向在D内移动，就得到该立体的一个切面面积，再把该面沿x轴正向在D内移动，就得到该立体的体积，
这样dx或dy都可近似看为一个点，乘上高就是线，再线动成面，面动成体。

码字作图都辛苦，别忘了采纳哈

祝愉快