Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF。

求证：（1）DE=DF （2）DE⊥DF

Answer 1

证明：在Rt△ABC中 连接CD

     (1)∵AC=BC   AE=CF

          ∵D是AB的中点 

          ∴ CD⊥AB   CD=1/2AB=AD  

          ∵∠CAD+ACD=∠ACD+∠FCD

          ∴∠CAD=∠FCD

          ∴△AED≌△CFD

           ∴DE=DF

     (2)∵△AED≌△CFD

          ∴∠EDA=∠FDC

          ∵∠EDA+∠CDE=90°

          ∴∠FDC+∠CDE=90°

          ∴∠FDC+∠CDE=∠FDE=90°

          ∴DE⊥DF

          

      

Answer 2

（1）连接CD
在等腰直角△ABC中 D为中点
∴CD平分∠ACB
∴∠DCB=∠A=45°
又∵△ACD也为直角△
∴AD=CD
且AE=CF
∴△ADE≌△CDF
∴DE=DF
(2)∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=90°
∵△ADE≌△CDF
∴∠ADE=∠CDF
∴∠CDE+∠CDF=90°
即∠EDF=90°
∴DE⊥DF

Answer 3

连接cd
ae=cf，ac=bc
故ec=bf
又角dcb=角b=45度
故dc=db，
所以三角形bcd全等于三角形fbd
故ed=df