Question

已知双曲线X^2/4-Y^2=1,和定点p(2，1/2),过点p可以作几条直线与双曲线只有一个公共点?

图没画了 就是一双曲线的图

Answer 1

设过P(2，1/2)的直线l方程是y=k(x-2)+1/2=kx+1/2-2k,
代入x^2-4y^2=4得
x^2-4[k^2x^2+k(1-4k)x+(1/2-2k)^2]=4,
整理得(1-4k^2)x^2+4k(4k-1)x-(1-4k)^2-4=0,①
l与双曲线只有一个公共点，有两种情况：
1）1-4k^2=0,k^2=1/4,k=土1/2，
这时①变为2x-5=0,或6x-13=0,只有一个实根，满足题设；
2）k≠土1/2时△/4=4k^2(4k-1)^2+(1-4k^2)[(1-4k)^2+4]
=(4k-1)^2+4-16k^2
=-8k+1=0,
k=1/8.
答：过点P可作3条直线与双曲线只有一个公共点.

追问

1 你的斜率好像解错了 是k=5/8
2 当斜率不存在时也满足（即刚好经过双曲线的右顶点）
所以答案应该为四条 但是思路还是正确的~

追答

2）k≠土1/2时△/4=4k^2(4k-1)^2+(1-4k^2)[(1-4k)^2+4]
=(4k-1)^2+4-16k^2
=-8k+5=0,
k=5/8.
3）k不存在时l:x=2与双曲线只有一个公共点.
答：过点P可作4条直线与双曲线只有一个公共点.
谢谢您的指正。