Question

设函数f(x)在(0，1)连续，且0≤f(x)≤1,证明至少存在一点ξ∈〔0，1〕，使得f(ξ)

设函数f(x)在(0，1)连续，且0≤f(x)≤1,证明至少存在一点ξ∈〔0，1〕，使得f(ξ)=ξ.

Answer 1

令g(x)=f(x)-x;
因为1>=f(x)>=0
所以
g(0)=f(0)-0≥0；
g(1)=f(1)-1<=0；
由零点存在定理，
必有一点使得g(m)=0
即f(m)-m=0
f(m)=m.

Answer 2

解 :
若f(0)=0 或f（1）=1 证毕
当f（0）不为0且f（1）不为1时，显然 f(0)>0 f(1)<1
相对于直线y=x (0<=x<=1) 因为f(x)连续 f（0）在直线上，f（1）在直线下，故f(x)必有一点穿越y=x 这点就是f(ξ)=ξ.

追问

0≤f(x)≤1为什么“显然f(0)＞0,f(1)＜0”

追答

是f(1)<1

因为题目规定 f(x)>=0 <=1

既然不为 0或 1。自然 大于0小于1

0 1情况见解答第一行

追问

。。。谢谢

追答

8k7

Answer 3

追问

谢谢