Question

等差数列｛ａn｝的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，｛bn｝为等比数列，b1=1，且b2S2=64,

等差数列｛ａn｝的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，｛bn｝为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与bn。（2）求1/S1+1/S2+···+1/Sn.

Answer 1

解：
(1)
设an=a1+(n-1)d,d为公差，d≠0，
bn=b1q^(n-1),q≠0,1，则：
b2S2=b1q(a1+a2)=64
q(6+d)=64
b3S3=q^2 (a1+a2+a3)=q^2 (3a2)=960
联立：q=8,d=2
则：an=2n+1
bn=8^(n-1)
(2)
Sn=n(n+2)
1/Sn=1/2 * [1/n - 1/(n+2)]=
(1/S1)+(1/S2)+…(1/Sn)=1/2 *
[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=[1+1/2-1(n+1)-1/(n+2)]
=3/4 - 1/[2(n+1)] - 1/[2(n+2)]

Answer 2

(1)
数列{an}各项均为正，则公差d>0，前n项和Sn>0
b2S2=b1qS2=1·q·S2=qS2=64
q=64/S2
b3S3=b1q²S3=1·q²·S3=q²·S3=960
q²=960/S3
(64/S2)²=960/S3
a1=3，a2=a1+d，a3=a1+2d，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3代入
整理，得5d²-4d-12=0
(5d+6)(d-2)=0
d=-6/5(舍去)或d=2
q=64/S2=64/(2a1+d)=64/(2·3+2)=8
an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1
bn=b1qⁿ⁻¹=1·8ⁿ⁻¹=8ⁿ⁻¹
数列{an}的通项公式为an=2n+1，数列{bn}的通项公式为bn=8ⁿ⁻¹
(2)
1/Sn=2/[(a1+an)n]=2/[(3+2n+1)n]=1/[n(n+2)]=½[1/n -1/(n+2)]
1/S1+1/S2+...+1/Sn
=½[1/1 -1/3+ 1/2 -1/4+...+1/n -1/(n+2)]
=½[1+½ -1/(n+1) -1/(n+2)]
=¾- 1/(2n+2) -1/(2n+4)

Answer 3

解：设等比数列{an}首项为a1、公差为d，则Sn=n(a1)+n(n-1)d/2；设{bn}的首项为b1、公比为q（q≠1），bn=(b1)q^(n-1)，
∴S2=2(a1)+d=d+6，S3=3(a1)+3d=3(d+3)；b2=q，b3=q²，解得d=2(d=-6/5已舍去)、q=8。
∴(1)，an=(a1)+(n-1)d=2n+1；bn=8^(n-1)。
(2)，由Sn=n(a1)+n(n-1)d/2，∴Sn=3n+(n-1)n=n(n+2)。∴1/Sn=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n-1/(n+2)]，
∴∑1/Sn=(1/2)∑[1/n-1/(n+2)]=(1/2)[3/2-1/(n+1)-1/(n+2)]。
供参考。