Question

在三角形ABC中，AM是中线，其中AB垂直于AEAD垂直于AC且AB=AE,AC=AD求证AM垂直于DE

初二的题

Answer 1

证明:延长AM到P,使PM=AM,连PC,PB,又因为BM=MC,
则四边形ABPC是平行四边形,∴PC=AB=AE   PB=AC=AD
∠PCA+∠BAC=180°
因为∠BAE=∠CAD=90°     ∴∠EAD+∠BAC=180°
∴∠PCA=∠EAD(就是同角的补角相等)
∴△EAD≅△PCA(SAS)       ∴∠EDA=∠PAC
再延长MA交DE于O,
因为∠PAC+∠OAD=180°-90°=90°
∴∠EDA+∠OAD=90°    ∴∠AOD=90°
则AM⊥DE

Answer 2

证明：延长MA交DE于G，延长AM，使MN=AM，连接CN
因为AM是三角形ABC的中线
所以BM=CM
因为角AMB=角CMN
所以三角形ABM和三角形NCM全等（SAS)
所以AB=CN
角ABC=角NCM
所以AB平行CN
所以角BAC+角ACN=180度
因为AB=AE
所以AE=CN
因为AB垂直AE
所以角BAE=90度
因为AD垂直AC
所以角CAD=90度
因为角BAE+角BAC+角CAD+角DAE=360度
所以角DAE+角BAC=角BAC+角ACN=180度
所以角DAE=角ACN
因为AD=AC
所以三角形DAE和三角形NCA全等（SAS)
所以角ADE=角NAC
因为角NAC+角DAE+角DAG=180度
所以角DAG+角ADE=90度
因为角DAG+角ADE+角AGD=180度
所以角AGD=90度
所以AM垂直DE