Question

已知不等式组｛x^2-x-2＞o,2x^2+(5+2k)x+5k＜0.

已知不等式组｛x^2-x-2＞o,2x^2+(5+2k)x+5k＜0.

(1)当k=0时，求不等式的解区间；
(2)若不等式的整数解只有一个-2,求实数k的取值范围！

Answer 1

解1：
已知：
x²-x-2＞0、2x²+(5+2k)x+5k＜0
当k=0时，有：
x²-x-2＞0……………………(1)
2x²+5x＜0…………………(2)
由(1)，有：x²-2×(1/2)x+(1/2)²-(1/2)²-2＞0
(x-1/2)²-1/4-2＞0
(x-1/2)²＞9/4
有：x-1/2＞3/2，或：x-1/2＜-3/2
解得：x＞2，或：x＜-1
由(2)，有：x(2x+5)＜0
有：x＜0、2x+5＞0………………(3)
或：x＞0、2x+5＜0………………(4)
由(3)得：-5/2＜x＜0
由(4)得：x＞0、x＜-5/2，矛盾，舍去。
综合以上，不等式的解为：-5/2＜x＜-1

解2：
x²-x-2＞0…………………………(1)
2x²+(5+2k)x+5k＜0………………(2)
由(1)，有：x²-2×(1/2)x+(1/2)²-(1/2)²-2＞0
(x-1/2)²-1/4-2＞0
(x-1/2)²＞9/4
有：x-1/2＞3/2，或：x-1/2＜-3/2
解得：x＞2，或：x＜-1………………(3)
由(2)有：x²+[(5+2k)/2]x+5k/2＜0
x²+2×[(5+2k)/4]x+[(5+2k)/4]²-[(5+2k)/4]²+5k/2＜0
[x+(5+2k)/4]²-[(5+2k)/4]²+5k/2＜0
[x+(5+2k)/4]²＜(4k²+20k+25)/4²-40k/4²
[x+(5+2k)/4]²＜(4k²-20k+25)/4²
[x+(5+2k)/4]²＜(2k-5)²/4²
-(2k-5)/4＜x+(2k+5)/4＜(2k-5)/4
-(2k-5)/4-(2k+5)/4＜x＜(2k-5)/4-(2k+5)/4
-k＜x＜-5/2
考虑到由(1)解得的(3)，不等式的解为：
-k＜x＜-1
由已知：不等式的整数解只有-2
因此，有：-3＜-k＜-2
故：所求k的数值为：2＜k＜3。