Question

用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字.对不对..二分法只用于求方程近似解呢

RT

Answer 1

计算条件允许的情况下是可以精确到任何一位 二分法　　数学方面：
　　一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
　　解方程即要求f(x)的所有零点。
　　假定f(x)在区间（x，y）上连续
　　先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],
　　现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b
　　 ①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，
　　如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用
　　中点函数值判断。
　　如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，从①开始继续使用
　　中点函数值判断。
　　这样就可以不断接近零点。
　　通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
　　给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
　　1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.
　　2 求区间(a,b)的中点c.
　　3 计算f(c).
　　(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;
　　(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;
　　(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.
　　(4) 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.
　　由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。
　　例:(C语言)
　　方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3
　　使用示例：
　　input a b e: 1 2 1e-5
　　solution: 1.32472
　　源码如下：
　　#include <stdio.h>
　　#include <stdlib.h>
　　#include <math.h>
　　#include <assert.h>
　　double f(double x)
　　{
　　return 1+x-x*x*x;
　　}
　　int main()
　　{
　　double a = 0, b = 0, e = 1e-5;
　　printf("input a b e: ");
　　scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &e);
　　e = fabs(e);
　　if (fabs(f(a)) <= e)
　　{
　　printf("solution: %lg\n", a);
　　}
　　else if (fabs(f(b)) <= e)
　　{
　　printf("solution: %lg\n", b);
　　}
　　else if (f(a)*f(b) > 0)
　　{
　　printf("f(%lg)*f(%lg) > 0 ! need <= 0 !\n", a, b);
　　}
　　else
　　{
　　while (fabs(b-a) > e)
　　{
　　double c = (a+b)/2.0;
　　if (f(a)* f ( c ) < 0)
　　b = c;
　　else
　　a = c;
　　}
　　printf("solution: %lg\n", (a+b)/2.0);
　　}
　　return 0;
　　}
　　例：C++语言[类C编写].
　　|f(x)|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6
　　#include"iostream"
　　#include"stdio.h"
　　#include"math.h"
　　#define null 0
　　double f(x)(double); //f(x)函数
　　void main()
　　{
　　double xa(null),xb(null),xc(null);
　　do
　　{
　　printf("请输入一个范围x0 x1：");
　　std::cin>>xa>>xb; //输入xa xb的值
　　printf("%f %f",xa,xb);
　　}
　　while(fx(xa)*fx(xb)>=0); //判断输入范围内是否包含函数值0
　　do
　　{
　　if(fx((xc=(xa+xb)/2))*fx(xb)<0) //二分法判断函数值包含0的X取值区间
　　{
　　xa=xc;
　　}
　　else
　　{
　　xb=xc;
　　}
　　}
　　while(fx(xc)>pow(10.0,-5)||fx(xc)<-1*pow(10.0,-5));//判断x根是否在接近函数值0的精确范围内
　　printf("\n 得数为：%f",xc);
　　}
　　double fx(double x)
　　{
　　return(2.0*pow(x,3)-4.0*pow(x,2)+3*x-6.0);
　　}
　　C++语言中的二分查找法：
　　算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。
　　基本思想：假设数据是按升序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找
　　，直到找到为止。
　　假如有一组数为3，12，24，36，55，68，75，88要查给定的值24.可设三个变量front，mid，end分别指向数据的上界，中间和下界，mid=（front+end）/2.
　　1.开始令front=0（指向3），end=7（指向88），则mid=3（指向36）。因为mid>x，故应在前半段中查找。
　　2.令新的end=mid-1=2，而front=0不变，则新的mid=1。此时x>mid，故确定应在后半段中查找。
　　3.令新的front=mid+1=2，而end=2不变，则新的mid=2，此时a[mid]=x，查找成功。
　　如果要查找的数不是数列中的数，例如x=25，当第三次判断时，x>a[mid]，按以上规律，令front=mid+1，即front=3，出现front>end的情况，表示查找不成功。
　　例：在有序的有N个元素的数组中查找用户输进去的数据x。
　　算法如下：
　　1.确定查找范围front=0，end=N-1，计算中项mid（front+end）/2。
　　2.若a[mid]=x或front>=end,则结束查找；否则，向下继续。
　　3.若a[mid]<x,说明待查找的元素值只可能在比中项元素大的范围内，则把mid+1的值赋给front，并重新计算mid，转去执行步骤2；若a[mid]>x，说明待查找的元素值只可能在比中项元素小的范围内，则把mid-1的值赋给front，并重新计算mid，转去执行步骤2。
　　代码：
　　#include<iostream>
　　#define N 10
　　using namespace std;
　　int main()
　　{
　　int a[N],front,end,mid,x,i;
　　cout<<"请输入已排好序的a数组元素:"<<endl;
　　for(i=0;i<N;i++)
　　cin>>a[i];
　　cout<<"请输入待查找的数x:"<<endl;
　　cin>>x;
　　front=0;
　　end=N-1;
　　mid=(front+end)/2;
　　while(front<end&&a[mid]!=x)
　　{
　　if(a[mid]<x)front=mid+1;
　　if(a[mid]>x)end=mid-1;
　　mid=(front+end)/2;
　　}
　　if(a[mid]!=x)
　　cout<<"没找到！"<<endl;
　　else
　　cout<<"找到了！在第"<<mid+1<<"项里。"<<endl;
　　return 0;
　　}
　　经济学方面：
　　传统的经济学家把经济分为实物经济和货币经济两部分，其中，经济理论分析实际变量的决定，而货币理论分析价格的决定，两者之间并没有多大的关系，这就是所谓的二分法。
　　哲学方面：
　　又称二分说，爱利亚学派芝诺四大著名悖论之一
　　证明运动是不可能的。
　　其主要思路是：假设一个存在物经过空间而运动，为了穿越某个空间，就必须穿越这个空间的一半。为了穿越这一半，就必须穿越这一半的一半；以此类推，直至无穷。所以，运动是不可能的。
　　一般使用方面：
　　即将所有的事物根据其属性分成两种。错误的分类可能导致逻辑谬论，如：非黑即白，不是忠的就是奸的。这很明显忽略了中间状态的存在。正确的分类法应如：白-非白。