Question

微积分，如何求同阶无穷小

tanx+sinx是x的几阶无穷小？如何计算，求过程哦答案是1似乎是用加法的，但是书上说用公式时只能在用乘除法时，还距离： l i m (sinx -tanx)/(x^3)=?x->0 但对另一题 l i m [（1+2x）^1/2-(1-3x)^1/3]/xx->0却可以用加减解决鄙人糊涂了，求指教

Answer 1

能用加减法的情况是有条件的，lim A+B=lim A+lim B的前提是lim A和lim B都要存在（必须是一个确定的数，不包括无穷大），这是一个非常重要的前提

lim (tanx+sinx)/x=lim tan/x+lim sinx/x=1+1=2 ，所以是x的1阶无穷小（注意tan/x和sinx/x的极限都存在）

lim (sinx-tanx)/x^3就不能这样算，因为sinx/x^3和tanx/x^3的极限都不存在，而应该这样算

lim (sinx-tanx)/x^3
=lim tanx(cos-1)/x^3
=lim x(-1/2*x^2)/x^3
=-1/2

lim [(1+2x)^(1/2)-(1-3x)^(1/3)]/x （不能直接加减，因为(1+2x)^(1/2)/x和(1-3x)^(1/3)/x的极限都不存在）
=lim [(1+2x)^(-1/2)+(1-3x)^(-2/3)]/1
=lim (1+2x)^(-1/2)+lim (1-3x)^(-2/3) （这时才能拆开，当然也可以不拆。如果书本上第一步就拆了，那是很不严谨的，即使算对了方法也是错的）
=1+1
=2