Question

洛必达定理条件

请问F'(x)不等于0是指在整个去心邻域内每个点都不等于0还是指不恒等于0（有限个点可以等于0）？如果是前者，那我是否就可以把F'(x)不等于0条件修改为F（x)不为常数？ 注：经常遇到条件形如f(x)不等于0，到底是什么情况下理解为每个点都不等于0，什么情况下又是指不恒等于0啊？
像这个这个不等于0指每个点都不等于0还是指不恒等于0？





Answer 1

就这两处来说都是指恒不等于0 (处处非0).
个人感觉这种情况相对常见, 不过保险起见还是参考上下文.
对前一个例子, 为使比值f'(x)/F'(x)在a的某个去心邻域上处处有定义(这是极限存在的前提),
就要求F'(x)在a的某个去心邻域上恒不等于0.
对后一个例子, ψ'(t)恒不等于0在ψ(t)单调的前提下保证了ψ(t)反函数存在且处处可导.
这应该会在证明中用到.

"不恒等于0"作为条件是相当弱的, 不止可以有有限个点得0, 还可以在部分区间上恒为0.
例如函数sin(1/x)+|sin(1/x)|就在0的任意去心邻域内不恒等于0,
但同时又在其中的某些区间上恒为0.
所以如果不清楚如何理解, 可以用在某区间上得0的例子尝试一下.
对于后一个例子ψ(t)就会出现局部常值, 不可逆从而使等式失去意义.

一般来说, 要用f(x) ≠ 0来表示不恒等于0需要一个背景.
首先是要把函数整体作为研究对象, 而不是只关心函数值.
其次这里0表示的是恒为0的常数函数, 而不只是一个数.
此时这里的(不)等式表示的是函数的(不)相等.
有的地方会写f ≠ 0来表达这个意思, 可以更明显的理解为作为映射的不等.
没有这样的背景的话还是写f(x)不恒为0比较常见.

追问

后一个例子，我可以理解为为了使ψ(t)处处存在反函数，且反函数处处可导，所以才要恒不等于0吗？另外：ψ(t)在有限个点处导数为0，不一定在局部就会出现常值啊

追答

是这个意思.
只是一般不说"处处存在反函数", 因为在某点存在反函数没什么意义.
实际上, 在这个条件下, 反函数是整体存在的.

追问

例如曲线积分

这个等式也是恒不为0意思吗？我觉得在有限个t处使这个等式为0应该是可以的？

追答

这也是恒不为0.
这个条件保证了(φ'(t),ψ'(t))给出切向量, 是一个曲线光滑性条件.
参考例子: 曲线L: y = |x|可以由φ(t) = t·|t|, ψ(t) = t²参数化.
φ(t), ψ(t)有连续导数, 当且仅当t = 0时成立φ'(t) = ψ'(t) = 0.
而曲线L在(0,0)处不存在切线.

去掉或减弱这个条件可能导致曲线的性状改变.
虽然仍可以讨论曲线积分(例如对分段光滑曲线), 但可能带来一些麻烦.

话说回来, 即便允许有限次取0, 也不说明可以将条件减弱为不恒为0.
因为不恒为0也可以无限次取0, 甚至在某些区间上恒等于0.

追问

厉害！对于前一个例子，“ψ(t)在有限个点处导数为0”时，实际上在这个条件下, 反函数已经是整体存在了，但是为了使反函数处处可导，所以条件还必须加强为ψ(t)处处导数不为0，理解正确吧。。。

追答

嗯, 理解正确.