Question

数列求和中裂项消除法公式的由来。是怎么变形来的，还有等差等比求和公式是怎么化简得到的， 谢谢

Answer 1

①裂项公式由来:
由于1/a-1/b=(b-a)/[a*b],所以1/[a*b]=[1/(b-a)] * [1/a-1/b]
那么我们就可以反过来利用公式
如:1/2+1/6+1/12+1/20=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5=1-1/5=4/5,这个式子里b-a=1
1/3+1/15+1/35=1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)=(1/2) * [1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7]=(1/2)*6/7=3/7,这个式子里b-a=2
②等差公式:(其实是由于高斯小时候发现1+2+3+...+100的简便方法的推广)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 =S
100 + 99 + 98 + 97 + ... + 1 =S 两个式子相加
101 +101+101+101+ ... +101=101*100(100个101)=10100=2S
并且注意到两个式子相等,所以原式=10100/2=5050
③等比数列:
1+q+q^2+q^3+...+q^n =T
上面式子乘以q得:
q+q^2+q^3+...+q^n+q^(n-1) =qT
上面减下面得:
T-qT=(1-q^(n-1))
所以原式=T=(1-q^(n-1))/(1-q)