Question

求应用柯西收敛准则的典型证明题，只要原题，不要网站.要典型的！

定理内容：　　数列收敛的充分必要条件是任给e>0,存在N(e),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<e成立。
另求其他分析定理汇总和证明.

Answer 1

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
　　证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
　　|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
　　当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
　　<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
　　=（1/n-1/m）→0
　　由柯西收敛原理得收敛
　　当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
　　<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
　　=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
　　由柯西收敛原理得收敛
　　综上收敛，即存在极限