Question

如图，三角形ABC中角ACB=90°，AD平份角BAC,DE垂直AB于E. 求证：直线AD是CE的

如图，三角形ABC中角ACB=90°，AD平份角BAC,DE垂直AB于E.
求证：直线AD是CE的垂直平分线

Answer 1

在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD(AD平份角BAC)，∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，

∴△ACD≌△AED，CD=DE，AC=AE。

由于CD=DE，△DCE中，∠DCE=∠DEC。

由于AC=AE，△ACE中，∠ACE=∠AEC。

在△ACO和△AEO中，∠CAO=∠EAO，∠ACO=∠AEO，AC=AE，

∴△ACO≌△AEO，∠AOC=∠AOE。CO=EO。

由于 ∠AOC+∠AOE=180°，∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠AOE=90°，CO=EO。

∴直线AD是CE的垂直平分线

Answer 2

证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线

Answer 3

三角形ADC全等三角形ADE；
AD=AD，角ACD=角AED=90度；角DAC=角DAE;
所以，AE=AC;
三角形AEC等腰，AD是角平分线，也是垂直平分线。

追问

谢谢了

Answer 4