Question

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边长，且√2sinA=√(3cosA)

(1)若a^2-c^2=b^2-mbc，求实数m的值.(2)若a=√3，求三角形ABC面积的最大值.

Answer 1

√2sinA=√(3cosA)两边平方得，2sin^2 A=3cosA [^2指平方]2(1-cos^2 A)=3cosA 2-2cos^2 A=3cosA2cos^2 A+3cosA-2=0(cosA+2)(2cosA-1)=0cosA= -2(cosA永远不会小于-1，舍去)或cosA=1/2 于是A=60度所以(1) a^2-c^2=b^2-mbc 则b^2+c^2-a^2=mbc根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=mbc/2bc=m/2根据上边的推理，可知m=1(2)sinA=sin60度=√3/2 根据正弦定理 b=asinB/sinA=√3sinB/(√3/2)=2sinB c=asinC/sinA=2sinC于是S(ABC)=1/2*bc*sinA=1/2*2sinB*2sinC*(√3/2)=√3sinBsinC=√3*{(1/2)[cos(B-C)-cos(B+C)]} [积化和差]=√3/2*[cos(B-C)-cos(B+C)]=√3/2*[cos(B-C)-cos(180-A)]=√3/2*[cos(B-C)+cosA]=√3/2*cos(B-C)+√3/2*cos60度=√3/4+√3/2*cos(B-C)由于当B-C=0时，cos(B-C)达到最大值1，于是当B=C(=60度)时，即ABC是正三角形时，三角形ABC的面积达到最大这个最大值是√3/4+√3/2=(3√3)/4