Question

{1/an}是等差数列，求证a1a2+a2a3+an-1an=(n-1)a1an

如题。网上的都是AN为等差数列地进行裂项法，可能也是用这个方法，但是反方向搞不来。。

Answer 1

1/an-1/a1=(n-1)d,a1-an=(n-1)da1an,1/an-1/a(n-1)=d≠0,a(n-1)-an=dana(n-1),a(n-2)-a(n-1)=da(n-1)a(n-2),...,a1-a2=da1a2,∴a1-an=d[a1a2+a2a3+...+a(n-1)an]=(n-1)da1an,∴a1a2+a2a3+...+a(n-1)an=(n-1)a1an.