Question

设函数f(x)=1-a/2*x+ax-lnx(a属于R).1，当a=1时，求fx的极值(2)当a>

设函数f(x)=1-a/2*x+ax-lnx(a属于R).1，当a=1时，求fx的极值(2)当a>1时，讨论函数fx的单调性

Answer 1

(1)
f(x)=(1-a)/2*x^2+ax-lnx
f'(x)=(1-a)x+a-1/x
=[(1-a)x^2+ax-1]/x
当a=1时，
f'(x)=(x-1)/x
当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)递减
当x>1时，f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)极限值=f(1)=1
(2)
∵a>1,那么1-a<0
∴f'(x)=(x-1)[(1-a)x+1]/x
令f'(x)=0解得x=1或x=1/(a-1)
当1/(a-1)=1即a=2时，
f'(x)=-(x-1)^2/x≤0恒成立
f(x)在(0,+∞)上为减函数

当1/(a-1)>1即0<a<2时，
f(x)在(1,1/(a-1))上递增
在(0,1)和(1/(a-1),+∞)上分别递减

当0<1/(a-1)<1即a>2时，
f(x)在(1/(a-1),1)上递增
在(0,1/(a-1))和(1,+∞)0上分别递减

追问

嗯？第一问的最后不是要求最大最小两个值么？怎么只有一个？

追答

最大值是1

上面的发错了，只有极小值，没有极大值。

是求极值不是最值。

追问

哦，没有极小值是吧，我明白了！谢谢老师指教！

追答

没有极大值