Question

2012 乌鲁木齐 如图 AB是圆O的直径 C为圆周上的一点 过点C的直线MN满足角MCA等于CB

2012 乌鲁木齐 如图 AB是圆O的直径 C为圆周上的一点 过点C的直线MN满足角MCA等于CBA

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B=
BC
AB
=
1
2
，
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC=S△EOC，
于是S阴影=S△ADC-S扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=3
3
，
在Rt△ADC中，AC=3
3
，∠DCA=∠B=60°，∴DC=
3
2
3
，AD=
9
2
，
∴S△ADC=
1
2
AD•DC=
27
3

8
，而S扇形EOC=
60π×32
360
=
3π
2
，
于是S阴=S△ADC-S扇形EOC=
27
3
−12π

8
．

Answer 2

（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90°，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cos∠B=BCAB=12，
∴∠B=60°，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S_△EAC=S_△EOC，
于是S_阴影=S_△ADC-S_扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC=3，AB=6，∴AC=33，
在Rt_△ADC中，AC=33，∠DCA=∠B=60°，∴DC=323，AD=92，
∴S_△ADC=12AD•DC=2738，而S_扇形EOC=60π×32360=3π2，
于是S_阴=S_△ADC-S_扇形EOC=273−12π8．

Answer 3

具体步骤如图：
具体步骤如图：

具体步骤如图：

Answer 4

你说如图，图呢？？