Question

(数学问题）讨论下列函数的连续性，如有间断点，指出其类型。 请给出详细解题过程！！

(1)y=(tan 2x)/x (2) y={2^(1/x)-1}/2^(1/x)+1

Answer 1

1. f(x)= （tan2x）/x 显然x不等于0,且x不等于-π/4+k*π/2且不等于π/4+k*π/2
故f（x）定义域为x属于（-π/4+k*π/2，0）并（0，π/4+k*π/2）
f（x）为初等函数在定义域内连续
因lim(x-》0)（tan2x）/x=lim(x-》0) 2x/x=2
故x=0为可去间断点
因lim（x-》π/4）x/tan2x=0故lim（x-》π/4）（tan2x）/x=∞
所以π/4+k*π/2是我穷间断点
同理-π/4+k*π/2是我穷间断点

2.解
f（x）={2^(1/x)-1}/2^(1/x)+1 =2-1/2^(1/x)
x属于（-∞，0）并（0+∞）
f（x）为初等函数在定义域内连续
lim(x-》-∞)f（x）=2-1/lim（x-》-∞）2^(1/x)=2-1=1
lim(x-》+∞)f（x）=2-1/lim（x-》+∞）2^(1/x)=2-1=1
lim(x-》-∞)f（x）=lim(x-》+∞)f（x）
lim(x-》0)f（x）=2存在
但0不属于（-∞，0）并（0+∞）
故x=0为可去间断点