Question

请教一个高等数学不定积分问题，谢谢！

对一个不定积分，有两种方式，积出来的结果不一样，自己检查不出两个方式的问题，请高手帮忙看看，谢谢！
我自己傻了，光看到两个结果样子不一样，其实把式3的前面两项减去式4的前面两项，结果是0的，也就是虽然样子不一样，式3和式4是可以相互转化的，我傻x了

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Answer 1

同一个不定积分的表达式不同是很正常的，检查他们正确与否，只要求一下导数，导数等于被积函数就是对的。看看你的结果，可能两个都对呢。

追问

嗯，我求导发现两个倒数都是被积函数，但是有个问题啊，按照课本的讲解，不定积分求出来的应该是差一个常数吧，但是这两个结果变量表达式都不同呢？什么情况呢？　谢谢！

追答

追问

你举例的三个都可以互相转化的，可以理解

追答

两个函数是否相差一个常数，不是看表达式，而是视函数本身的属性。只要两个函数的导数相等，则此二函数就只能相差一个常数。

Answer 2

d根号(x^2+1) = 2x(x^2+1)^(-1/2)dx,你少了个2x，复合函数求导公式没用对

追问

这个在图片中把2x提到后面去了，d根号(x^2+1) = (x^2+1)^(-1/2)dx＾2，对吧？

追答

你说的对，

x^2根号(x^2+1) -(2/3)(x^2+1)^(3/2)
=(x^2+1)根号(x^2+1) -根号(x^2+1) --(2/3)(x^2+1)^(3/2)
=1/3 (x^2+1)^(3/2) -根号(x^2+1)

Answer 3

两个结果是一样的，前面那两个原函数相等。

追问

能不能解释的详细一点呢？你是说式3和式4其实是相等的吗？　因为式3和式4前两项的原函数相等吗？　

追答

是啊，两个结果实际上是一回事。第一个结果√(1+x^2)*x^2-2/3*√(1+x^2)^3+C=√(1+x^2)*(1+x^2-1)-2/3*√(1+x^2)^3+C=√(1+x^2)^3-√(1+x^2)-2/3*√(1+x^2)^3+C=1/3*√(1+x^2)^3-√(1+x^2)+C，这不就是第二个结果嘛