Question

如图,△ABC中,∠CAB=90°,CB的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于点D

交AB于点F，求证：AE^2=EF·ED

Answer 1

∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，
∵FE⊥BC，BE=CE，
∴∠F+∠C=90°，AE=BE，
∴∠B=∠F=∠DAE，又∠CEF为公共角，
∴ΔEAD∽ΔEFA，
∴DE/AE=AE/EF，
∴AE^2=EF*ED。

Answer 2

证明：连接AE，
∵在△ABC中，∠CAB=90°，BC的中垂线交BC于E，
∴AE=BE=CE，∠BEF=∠BAD=90°，
∴∠B=∠EAB，∠B=∠D，
∴∠EAB=∠D，
又∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴
AE：DE= EF：AE
∴AE2=EF•ED