Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=1/2x^2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=1/2x^2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA

Answer 1

解答：解：（1）∵由y=
1
2
x2+2x得，y=
1
2
（x+2）2-2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（-2，-2），
令
1
2
x2+2x=0，解得x1=0，x2=-4，
∴点B的坐标为（-4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（-2，-2），点D的坐标为（-2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为
1
2
，且过顶点C的坐标是（2，-4），
∴抛物线的解析式为：y=
1
2
（x-2）2-4，即y=
1
2
x2-2x-2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，
∴OC=
OE2+EC2
=
22+42
=2
5
，
同理，AC=2
5
，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．

（3）如图1，点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴点C′的坐标为（-4，2），
把x=-4代入抛物线y=
1
2
x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上；

（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q（a，
1
2
（a-2）2-4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴

1
2
(a−2)2−4−4

2
=0，解得a1=6，a2=-2，
∴Q（6，4）或（-2，4）（舍去），
∴点Q的坐标为（6，4）．

Answer 2

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=0.5（x+2）²-2与x轴相交于点O,B两点，顶点为A，连接OA . 求点A的坐标和∠AOB的度数

解：y=0.5x²+2x配方得：y=0.5（x+2）²-2
∴点A的坐标为A(-2,-2)
解方程0.5x²+2x=0得x=0或-4
∴B(-4,0),O(0,0)
由勾股定理得|OA|=2√2 |AB|=2√2
|OB|=4
∵OA²+AB²=OB²
∴△AOB是直角三角形（勾股定理得逆定理）
又∵OA=AB2√2
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠AOB=45º

Answer 3

解：（1）∵由y=

1
2
x2+2x得，y=
1
2
（x+2）2-2，

∴抛物线的顶点A的坐标为（-2，-2），
令
1
2
x2+2x=0，解得x1=0，x2=-4，
∴点B的坐标为（-4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（-2，-2），点D的坐标为（-2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；

（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线m的二次项系数为
1
2
，且过顶点C的坐标是（2，-4），
∴抛物线的解析式为：y=
1
2
（x-2）2-4，即y=
1
2
x2-2x-2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，
∴OC=
OE2+EC2
=
22+42
=2
5
，
同理，AC=2
5
，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．

（3）如图1，点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴点C′的坐标为（-4，2），
把x=-4代入抛物线y=
1
2
x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上；

（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，
∴设Q（a，
1
2
（a-2）2-4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴
1
2
(a−2)2−4−4
2
=0，解得a1=6，a2=-2，
∴Q（6，4）或（-2，4）（舍去），
∴点Q的坐标为（6，4）．