Question

高中数学－求数列通项

a(n＋1)－an＝2n－1 a1＝1
不用累加法怎么做？
我发现了其他方法，可以构造等差数列

Answer 1

累加是最简便的方法，不用累加的就必须构造一等差数列bn然后求bn的通项公式，最后根据bn的通项公式计算an
a(n+1)=a(n)+2n-1可以构造出bn=a(n+1)-(n+1)^2 + 2(n+1) = a(n) - n^2 + 2n,bn为常数由此可以计算出an

Answer 2

解：
∵a(n+1)=an+2n-1
∴a(n+1)-an=2n-1
∴a[(n-1)+1]-a(n-1)=2(n-1)-1，即an-a(n-1)=2n-3(n≥2)
根据an-a(n-1)=2n-3，可以得到下列等式：
an-a(n-1)=2n-3；a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-3=2n-5；a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-3=2n-7……
a4-a3=2×4-3=5；a3-a2=2×3-3=3；a2-a1=2×2-3=1
把这些式子罗列起来：
an-a(n-1)=2n-3；
a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-3=2n-5；
a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-3=2n-7
……
a4-a3=2×4-3=5；
a3-a2=2×3-3=3；
a2-a1=2×2-3=1.
把这些式子中等号的左边的式子依次相加：
(an-a(n-1))+(a(n-1)-a(n-2))+(a(n-2)-a(n-3))+……+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)=an-a1
再把这些式子中等号的右边的式子依次相加：
(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+……+5+3+1=(n-1)[(2n-3)+1]/2=(n-1)^2=n^2-2n+1
那么an-a1=n^2-2n+1
∵a1=1
∴an-1=n^2-2n+1
∴an=n^2-2n+2.

Answer 3

a(n+1)=a(n)+2n-1=a(n)+(n+1)^2-n^2-2,
a(n+1)-(n+1)^2 = a(n)-n^2 - 2 = a(n) - n^2 - 2(n+1) + 2n
a(n+1)-(n+1)^2 + 2(n+1) = a(n) - n^2 + 2n,
{a(n)-n^2+2n}是常数列.
a(n+1)-(n+1)^2 + 2(n+1) = a(n)-n^2 + 2n = ... = a(1)-1+2=2,
a(n)=n^2-2n+2
其实如论怎么做，其本质还是累加法，逃不掉的 n^2是n²的意思

Answer 4

a(n+1)-an=2n-1
an-a(n-1)=2(n-1)-1
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)-1
...
a2-a1=2*1-1
相加得an-a1=2[1+2+...+(n-1)]-(n-1)
=n(n-1)-(n-1)
=n²-2n+1
所以an=a1+n²-2n+1=n²-2n+2

Answer 5

不能求的，不管如何变化，本质还是累加法