Question

在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小。

Answer 1

设扇形面积为S, 扇形弧长L, 扇形圆心角A 则 S=(1/2)LR, 又L=AR, S=(1/2)AR^2, A=2S/R^2扇形周长 p=2R+L =2R+AR =2R+2S/R >=2根号（2R * (2S/R)) 用均值定理，等号成立仅当R=S/R, R^2=S, R=根号S =4 根号S所以半径是根号S时扇形的周长最小为4根号S

Answer 2

扇形面积公式R*L/2
(L为扇形弧长)
,则即
S=R*L/2
,得
L=2*S/R此扇形的周长为
C=2R+L,L用2S/R替换,则
C=2R+2S/RC=2R+2S/R
=2(R+S/R)根据基本不等式,或对勾函数可知,R+S/R≥2√S
(
当R=√S是该不等式取等号,值最小）
所以C=2(R+S/R)≥4√S 所以,半径为√S是扇形的周长最小,最小周长为4√S

Answer 3

(1)
L=2R+2S/R>=4根号S
当且仅当2R=2S/R时取等号
即R=根号S
根据平均值不等式(2)
S=(L-2R)*R/2<=L^2/16
当且仅当L-2R=2R即R=L/4时取等号平均值不等式