Question

在极限中，什么叫做无穷小量的阶

Answer 1

设这个函数是f(x)

则计算极限lim(x->0) f(x)/x^n，如果当n=p-1时，极限值=0。当n=p时，极限值=常数，则可以判断，f(x)是x^p的同阶无穷小，当这个常数=1时，f(x)是x^p的等价无穷小。根据常数所对应的阶数就可以判断是几阶无穷小。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

无穷小量指极限趋向于0，但有些极限趋向0的快，有些慢，“阶”就是描述这个速度的相对快慢的；以函数极限为例（其它极限，如数列极限类似）：
假设函数f(x) 和g(x)在x->0时都是无穷小量，如果 f(x)/g(x) 是一个有限数，那么称他们是同阶无穷小（趋向于0的速度是一样的）；如果f(x)/g(x)还是一个无穷小，那么称f(x)相对g(x)来说是高阶无穷小（f(x)趋向于0的速度更快)，或者说g(x)相对f(x)是低阶无穷小。

上面是一般的定义，如果用多项式函数作为例子就非常直观了，比如：
f1(x)= x ; f2(x)= x^2 ; f3(x)= x^2 + x^3 , (x->0)
f1相对于f2就是低阶无穷小；f2和f3就是同阶无穷小（可以用上面的定义验证）。直观就可以看出来x^2比x趋向于0的速度快得多。

Answer 3

无穷小量指极限趋向于0，但有些极限趋向0的快，有些慢，“阶”就是描述这个速度的相对快慢的；以函数极限为例（其它极限，如数列极限类似）：
假设函数f(x) 和g(x)在x->0时都是无穷小量，如果 f(x)/g(x) 是一个有限数，那么称他们是同阶无穷小（趋向于0的速度是一样的）；如果f(x)/g(x)还是一个无穷小，那么称f(x)相对g(x)来说是高阶无穷小（f(x)趋向于0的速度更快)，或者说g(x)相对f(x)是低阶无穷小。

上面是一般的定义，如果用多项式函数作为例子就非常直观了，比如：
f1(x)= x ; f2(x)= x^2 ; f3(x)= x^2 + x^3 , (x->0)
f1相对于f2就是低阶无穷小；f2和f3就是同阶无穷小（可以用上面的定义验证）。直观就可以看出来x^2比x趋向于0的速度快得多。

Answer 4

解答:

这里涉及两个问题。
第一，无穷小是一个越来越小的过程，是越来越趋向于0的过程，
它并不是一个很小的量。

国内的很多教科书，把infinity，说成无穷大量，把infinitesimal，
说成是无穷小量。其实都会误导学生。无穷大=inifinity，也不是
一个量。一个量无论多大，都不是无穷大，无穷大也是一个过程。

第二，无穷小(=infinitesimal)的阶。
无穷小是一个无止境地趋向于0的过程，说它们的阶，其实就是
它们的power，也就是它们的幂次。x趋向于0时，x² 肯定比x小，
而 x³ 比 x²小，、、、、所以我们就说：
x⁴是 x³ 的高阶无穷小；
x³ 是 x² 的高阶无穷小；
x² 是 x 的高阶无穷小；
x³ 既是 x 的高阶无穷小，也是 x² 的高阶无穷小，更是 x 的高阶无穷小。
以此类推。
x 是一阶无穷小，x² 就是二阶无穷小，x³ 就是三阶无穷小，x⁴就是四阶无穷小，
、、、、、、、

Answer 5

无穷小量

如果在x→0时，f(X)=0,则称f(X)=0是当x→0时的无穷小量，简称无穷小。
无穷小就是以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(1/n)=是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量(注意：特别小的数和无穷小量不同）。
2同阶无穷小

如果lim F(x)=0,lim G(x)=0,且lim F(x)/G(x)=c,并且c≠0，则称F(x)和 G(x)是同阶无穷小。例如：
计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小

追问

哦哦